中职三角形面积及解题方法(三角形面积解法)

$$S = \frac{1}{2} \times \text{底边} \times \text{高}$$

• 海伦公式：适用于已知三边长度的情况，公式为

  $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

  其中，$p = \frac{a+b+c}{2}$为半周长。
• 三角函数法：已知两边及其夹角时，面积公式为

  $$S = \frac{1}{2}ab\sin C$$

• 坐标法：若三角形顶点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$，则面积为

  $$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$$

步骤：

• 确定三角形的底边及其对应的高。
• 将数值代入公式计算。

示例：已知底边长为6 cm，高为4 cm，则面积为

$$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 \text{ cm}^2$$

步骤：

• 计算半周长$p$。
• 代入公式求面积。

示例：三边分别为5 cm、6 cm、7 cm，则

$$p = \frac{5+6+7}{2} = 9$$

$$S = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = 6\sqrt{6} \text{ cm}^2$$

已知两边$a=5$、$b=7$，夹角$C=60^\circ$，则

$$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60^\circ = \frac{35\sqrt{3}}{4}$$

某地块呈三角形，测量得三边长度为30 m、40 m、50 m。利用海伦公式计算面积：

$$p = \frac{30+40+50}{2} = 60$$

$$S = \sqrt{60 \times 30 \times 20 \times 10} = 600 \text{ m}^2$$

一个三角形金属板的顶点坐标为$(0,0)$、$(4,0)$、$(0,3)$，使用坐标法计算面积：

$$S = \frac{1}{2} |0(0-3) + 4(3-0) + 0(0-0)| = 6 \text{ 单位}^2$$

• 错误1：未正确识别底和高的对应关系。纠正时需强调高的定义。
• 错误2：海伦公式中未验证三边是否满足三角形条件。应先检查$a+b>c$。
• 错误3：坐标法计算时忽略绝对值符号，导致负面积。

• 已知底边8 cm，高5 cm，求面积。
• 三边为13 cm、14 cm、15 cm，用海伦公式计算面积。
• 在坐标系中，顶点为$(1,2)$、$(4,5)$、$(7,8)$，求面积。